群论如实由好多不同类型的群组成，其中有五个基本群在表面上至极过错，况且为合伙更复杂的群结构提供了基础。为了评释每个群是若何构建的开云体育，咱们需要从对称性（symmetry）运转。对称性是指一个物体在经由某些操作后仍保执不变的性质。

以海星为例，每转72度，它看起来和之前相通。为了引申这种主见，需要开垦三个条目。

领先，识别物体中通盘相似的部分，并赋予它们一个编号。

其次，尝试找出不错对该物体履行的操作，这些操作不错再行陈设编号的部分，同期占据相通的空间。这些操作不错是旋转、翻转、平移或反射等。它们的共同脾气是不会改变物体的举座样式或尺寸，仅仅再行陈设了物体的编号部分，并确保物体仍然占据相通的空间。

第三，列出通盘可能的组合。

这在数学上不是很实用，是以移除矩形，只久了审视。

这个图从盘问“物体在空间中的特定陈设或状况”更正为盘问操作。虚线箭头久了的是垂直翻转，而实线示意水平翻转。

咱们不错进一步简化它，不是用完整的短语，而是遴荐情态和节点。这些非常被称为节点。的第一个节点是源流节点，标识为N。

箭头变成了线，天然阑珊箭头头部，咱们仍然称之为箭头。蓝色代表水平翻转，截止于B节点，红色代表垂直翻转，截止于R节点。咱们知说念，每次示意关联时都不会使用图表，推行上以代数口头抒发它。再次看图，发现RB等于BR，两者都截止在RB节点。因此，更精真金不怕火地示意为RB=BR。

显然这是一个至极浅易的例子，但这里有一个至极过错的点，咱们刚才画的是一个群，它的可视化，更具体地称为克莱因4元群（Klein-4，记为V4）。趁便提一下，通盘的节点都是它的元素，是以当咱们说N是V4的元素时，抒发为

克莱因四元群属于阿贝尔群家眷（abelian groups），但在深入盘问它们之前，咱们需要了解一个更基本的群家眷，称为轮回群（cyclic groups）。它们是最基本的，因为它们惟有旋转对称性，这意味着对轮回群只可作念一件事，那便是旋转它。

轮回群频频被定名为C_n，n是元素的数目或它们的阶。频频咱们会给一个节点分派一个恒等元“零”，因为旋转一个有n个叶片的螺旋桨n次会回到源流，这本色上等同于从未旋转过。

因此，在代数上，C_5示意为这么：

每次旋转都朝咱们遴荐的地点（不成是两个地点），

在这个例子中，每个群的元素都是通过反复加一世成的，但数字不会无穷加多，达到n后会回到零，这便是所谓的模加法（modular addition）。

如若用凯莱表（Cayley table）来示意这少量，

会融会地看到雷同2+3=0或4+3=2这么的情况。正如之前提到的，其他群族不错从轮回群构建而成。因此，为了合伙这少量，咱们需要合伙如安在其他类型的群中找到轮回群。

考虑这个图S_3，

蓝色的箭头示意旋转或r。如若从单元元素e运转，会看到在外部姿色出一个与C_3都备相通的轨迹。这个术语称为r的轨说念，它们频频像集中一样写在一说念。

通盘的轮回群都是阿贝尔群，这天然引出了阿贝尔群家眷。推行上，阿贝尔群不错从轮回群构建而成。阿贝尔群是指那些操作规定不关要紧的群。记忆一下咱们之前的V_4例子，如若R和B是阿贝尔群中的两个操作，那么操作R后再操作B，效果与先操作B再操作R相通，这示意为RB=BR。这个读作R与B可交换，因此阿贝尔群是可交换的。

这在视觉上可能了然于目，但如若望望这两个至极相似的图，

其中一个是D_4，另一个是C_2×C_4。仔细不雅察会发现，关于D_4，先蓝色再红色，和先红色再蓝色得回的节点不同，

因此RB不等于BR，但另一个群则很是。

在凯莱表中它们也很容易识别，因为它们着实是互相的镜像。

如若你将表沿对角线对折，斗争到的元素是相通的。

轮回群只可展示旋转对称的物体。那么如若想旋转它并将其翻转呢？有符合这种情况的群吗？有的，这便是二面体群（Dihedral groups），它不错旋转和翻转。二面体群姿色的物体也具有双边对称性，这意味着它们在反射时看起来相通。它们频频写稿D_n。

咱们在C_n中能作念的通盘操作也不错在D_n中进行，因为它触及旋转。但由于D允许翻转，因此D_n中的操作数目是C_n的两倍。在二面体群中，每种可能的旋转都有一种可能的翻转。取一个等边三角形并给通盘的角编号，

咱们不错旋转它，这相配于C_3的旋转，这个顺时针的旋转不错称为r，C_3副本便是r的轨说念。但咱们也不错通过翻转三角形得回另外三个位置，将总和提高到六个。

D_n图的外环是r的轨说念，是轮回群C_n的副本，它们顺时针旋转。内环亦然旋转，但为逆时针旋转。f操作合伙内环和外环。

乘法表融会地久了了这少量，咱们不错将其分为四个至极明确的象限。

在这个D_5的例子中，不错称它们为“翻转”和“未翻转”。

到现在为止，咱们主要盘问了样式，但如若想要再行陈设群的元素会何如？这些再行陈设属于咱们将盘问的临了两个群族：对称群和瓜代群。它们是构建群的竣工器具，因为它们赋闲群的四个条目：

它们有一组预界说的永不改变的操作，每个操作惟有一种解说，连气儿履行的一系列操作亦然一个操作，况且每个陈设都是不错逆转的。

还记起之前提到的S_3吗？S代表对称，S_n代表n个事物的通盘陈设组成的群，或称为对称群。S3是咱们迄今遭遇的唯独对称群，它很小，但跟着n的增大，它们变得愈加引东说念主把稳。它们的范畴增长至极快，S_n中的n是阶乘。朝上S_5后，凯莱图表变得至极难以绘图。但S_4仍然不错很好地陈设。S_4有四个元素，是以有24种可能的陈设。红色箭头示意陈设“2到4，4到3，3到2”，蓝色箭头示意陈设“1到2，2到1”。

尽管元素的集中不错变成一个群，但创建陈设群并不一定需要取通盘给定大小的陈设。仍然不错使用S_n的一部分陈设变成一个群。一种武艺是通过瓜代群，它只取S_n中一半的元素，但不是赶快的一半。瓜代群A_n由S_n中的偶陈设组成。举个例子，

它展示了S_3中每个陈设在开阔时的动作。当咱们对一个陈设开阔时，推行上是将它连气儿诈骗两次。“1”是恒等陈设“1 2 3”，或浅易记作“id”。将其广粗野味着id ○ id = id，因此效果是恒等元素。

接下来是两个元素的交换，举例交换元素1和2，开阔它意味着

这等于恒等元，因为交换两次会对消交换，因此它仍然是恒等元，是以它是一个奇陈设。2和3交换亦然相通的预见。

第五和第六行的陈设产生了两种不同的换位

先“1 2”，再“2 3”，因此它是偶陈设。临了一个亦然偶陈设。因此，在6个可能的陈设中，咱们得回了三个，瓜代群A_3。

在凯莱图中，瓜代群的陈设是对称群陈设的一半。举例，瓜代群A_4陈设在一个截顶四面体上，而这是S_4的截顶八面体的一半。

这一切引出了凯莱定理，它指出，群论的通盘内容都不错在陈设中找到。

凯莱定理（Cayley's Theorem）是群论中的一个过错定理开云体育，标明每一个有限群都同构于某个对称群的一个子群。换句话说，任何群都不错通过某种口头示意为对称群（即陈设群）的一个子群。这意味着每个群的元素不错看作是对一些集中的元素进行陈设的置换。